Logica dei Predicati

Fin’ora avevamo visto come tradurre dalla lingua naturale alla formula logico-matematica, tuttavia adesso allarghiamo lo sguardo verso l’operazione opposta.
Come fa una formula matematica, ad esser “decifrata” in linguaggio naturale?

Quantificatori e Predicati:

I Quantificatori:

Sono dei simboli che ci aiutano a dare un senso/significato alle incognite nelle formule matematiche:

Simbolo	Come si legge
$\forall x$	• “Per ogni…” • “Tutti…” • ”… Tutto” • “Chiunque…”
$\exists x$	• “Esiste un…” • “C’è almeno un…” • “Qualche…” • ”… qualcosa”

I Predicati:

Sono delle funzioni logiche che descrivono in base ad una proprietà o una relazione, una verità, quindi un fatto o una azione.

Esempi:

$Studente(x)$ = ” $x$ è uno studente”.
$Ama(x, y)$ = ” $x$ ama $y$ ”.

Come si può notare, la “proprietà” di un predicato è intuibile nel nostro caso dal nome dello stesso.

L’Ordine dei Simboli:

In situazioni in cui si hanno più incognite (es: $x$ e $y$ ), l’ordine in cui appaiono i Quantificatori può cambiare radicalmente il senso della frase.

Capiamolo con degli esempi con spiegazioni:

$\forall x \exists y(Ama(x,y))$
- Ordine: Prima “Tutti”, poi “Qualcuno”.
- Traduzione: “Tutti amano qualcuno.”
- Senso: Ognuno ha la sua anima gemella (magari diversa). Io amo Maria, tu ami Luca, egli ama Anna… Nessuno è solo.
$\exists x \forall y(Ama(x,y))$
- Ordine: Prima “Esiste uno”, poi “Tutti”.
- Traduzione: “C’è qualcuno che ama tutti.”
- Senso: C’è una persona specifica (tipo Madre Teresa) che ha un cuore così grande da amare l’umanità intera.
$\exists y \forall x(Ama(x,y))$
- Ordine: Prima “Esiste uno (che è amato)”, poi “Tutti (che amano)”.
- Traduzione: “C’è qualcuno che è amato da tutti.”
- Senso: C’è una persona super popolare (es. una rockstar) che tutti amano.

Pattern Ricorrenti:

Ecco una tabella con alcuni semplici Pattern che potrebbero ripetersi.
Non è fondamentale conoscerla o memorizzarla, ma avere la consapevolezza dell’esistenza di possibili Pattern può sempre essere un’opportunità per aiutarci.

Struttura Simbolica	Parole Chiave	Esempio	Traduzione Italiana
$\forall x (A(x) \rightarrow B(x))$	Tutti… sono…	$\forall x (Uomo(x) \rightarrow Mortale(x))$	”Tutti gli uomini sono mortali.”
$\forall x (A(x) \rightarrow \neg B(x))$ oppure $\neg \exists x (A(x) \wedge B(x))$ )	Nessuno… è…	$\forall x (Uomo(x) \rightarrow \neg Immortale(x))$	”Nessun uomo è immortale.”
$\exists x (A(x) \wedge B(x))$	Alcuni… sono…	$\exists x (Studente(x) \wedge Genio(x))$	”Alcuni studenti sono geni.” (o “C’è almeno uno studente genio”)
$\exists x (A(x) \wedge \neg B(x))$	Alcuni… NON sono…	$\exists x (Studente(x) \wedge \neg Studia(x))$	”Alcuni studenti non studiano.” (o “C’è uno studente che non studia”)

Esercizi con soluzioni:

$\forall x(studente(x))$
“Tutti sono studenti.”
$\exists x(studente(x))$
“Esiste uno studente.”
$\exists x(studente(x) ∧ intelligente(x))$
“Uno studente è intelligente.”
$\forall x(studente(x) → \exists y(studente(y) \wedge amico(x, y))$
“Tutti gli studenti hanno almeno uno studente amico con loro.”
$\exists x(studente(x) \wedge \forall y((studente(y) \wedge x \neq y) \rightarrow amico(x,y)))$
“Esiste uno studente che è amico di tutti gli altri studenti.”